Équation diophantienne 50x+9y = 1 - Corrigé

Énoncé

Résoudre l'équation \((E) \colon 50x+9y=1\) dans \(\mathbb{Z}^2\) .

Solution

On applique l'algorithme d'Euclide pour \(50\) et \(9\) :
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r \\ \hline 50&9&5&5\\ \hline 9&5&1&4\\ \hline 5&4&1&1\\ \hline 4&1&4&0\\ \hline \end{array} \begin{array}{l}\ \\ \times 2 \\ \times (-1) \\ \times 1 \\ \ \end{array}\end{align*}\)  
On a donc \(\mathrm{PGCD}(50;9)=1\) , et comme \(1\) divise \(1\) , l'équation \((E)\) admet des solutions.

En additionnant les lignes après avoir éliminé les restes intermédiaires, on obtient :
\(\begin{align*}50 \times 2+9 \times (-1)=9 \times 5 \times 2+1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 50 \times 2+9 \times (-11)=1 \end{align*}\) donc \((x_0;y_0)=(2;-11)\) est une solution particulière de \((E)\) .

Soit \((x;y)\) une solution de \((E)\) .
On a  \(\begin{align*}50x+9y=50 \times 2+9 \times (-11)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 50(x-2)=9(-y-11)\end{align*}\) . 
On en déduit que \(50\) divise \(9(-y-11)\) .
Or \(\mathrm{PGCD}(50;9)=1\) , donc d'après le théorème de Gauss, \(50\) divise \(-y-11\) , c'est-à-dire qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que  \(\begin{align*}-y-11=50k \ \ \Longleftrightarrow \ \ y=-50k-11\end{align*}\) .
On a alors
\(\begin{align*}50(x-2)=9(-y-11)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 50(x-2)=9 \times 50k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x-2=9k\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=9k+2.\end{align*}\)    
Ainsi, les solutions de \((E)\) sont des couples de la forme \((x;y)=(9k+2;-50k-11)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) .

Réciproquement, soit \(k \in \mathbb{Z}\) quelconque et \((x;y)=(9k+2;-50k-11)\) .
On a  \(\begin{align*}50x+9y& = 50(9k+2)+9(-50k-11)= 50 \times 2+9 \times (-11)= 1\end{align*}\) donc \((x;y)\) est solution de \((E)\) .

En conclusion, les solutions de \((E)\) sont données par \(S=\left\lbrace(9k+2;-50k-11) \colon k \in \mathbb{Z} \right\rbrace\) .